やかんです。
今日はヒロアカ41巻の発売日で、早速朝から読んでましたが、やばいです、最高です。涙止まらんでした。
↑執筆時（昨日）のコメント
単調増加 / 減少の数列が有界であるなら、収束する件について。
数列が上に有界なら、ワイヤシュトラースの定理より、上限の存在を証明において利用できます。
前回も書きましたが、ワイヤシュトラースの定理は証明が天才。この天才的な証明を自分が構成することはまあ無理なんで、ありがたく歴史上の天才が編み出してくださったこの証明を、既知のものとして利用させていただくわけです。
口説いけどワイヤシュトラースの定理について言い換えると、有界な数列については、上限あるいは下限の存在を他の証明において利用して良いということだ。
で、この定理（単調増加 / 減少の数列が有界であるなら、収束する）は結構ありがたくて、この先「単調増加だ！有界だ！」という場合にはその収束性を前提していいし、単調減少の場合もまた然り。直感的に、「単調増加で『天井』があるならいつかその『天井』にぶつかって収束しそうだよね」と思われるが、この直感を数学が定理として保証してくれた、といったニュアンスだと思われる。
等比数列の発散、収束の証明について。
証明において使っていいのは定義、すでに証明された定理、公理、あるいは前提として認めたもの（数の演算や、大小関係など）に限られる。
等比数列の発散については、「数列の極限的な話だから、収束の定義とか用いるのかな？」など思ってしまったが、「収束」は比較的厳密な定義を要する一方で、発散は定義を要するが収束に比べると「ゆるい」定義なように思われる。発散について証明する場合というのは、発散の定義をなぞっているのだけど、一見、ただの数式いじりのようにも見えてしまう。てなわけで、証明に「何を用いるか」という話だが、これについては直感的であるのがこの例なのではないだろうか。
なんかゴニョゴニョ書いたけど、等比数列についての証明は、自分の理解を確かめ、深めるためのいい題材な気がする。明日また取り組んでみよう。
数列における収束の証明について
少なくとも、
- 収束の定義（数列に関するコーシーの収束性の定義）
- 「単調増加 or 減少」かつ「有界」なら、収束するという定理（極限値まで言い及んでいる）
の2つが、数列における収束の証明には適用可能。
となると、なんの定理が何をどこまで示しているのか、導いているのかが大事な気がするな。
ワイヤシュトラースの定理は、「数列が部分集合である限り、上限 or 下限（or その両方）を持つ」ことを導いている。次に、収束する数列は有界であることが定理として示される。次に、単調に増加 or 減少する数列が有界ならばそれは収束し、極限値は上限 or 下限に等しい、ということが定理として示される。
また、極限値がある定数であることを証明する際には、二項定理が相性いいんかな。やっぱり、「定数」という点では数における演算と大小関係に頼るのが常套手段だろう。その他の、すでに証明した定理をこねこねするのではなく。
背理法について
中学生の時から馴染みのある証明方法だけど、これは「一定の論理に従って導いた結論が、その導出過程で前提となった事柄と矛盾してしまう」ということを持ってして、その前提とした事柄が誤りであることを示す証明方法だ。
いわゆる「例題」について
例題は、何かの例として紹介されるもので、大抵はなんらかの定理の使用方法などを身につけよう、的な文脈で紹介される。
確かに定理の使用方法も身に付けたいが、例題を通じてその定理を構成する論理がどうなっているか、という点を追うことができるのもありがたい話だと思う。
eの定義について
eはある数列の極限値として定義されるが、この定義が成立するためには、やや天下り的だが当該数列が収束することが明らかである必要がある。
数列が収束することを言うためには、前述の通りその単調増加 / 減少性と、その数列が有界であることを示せばいい。また、eの定義に際しては極限値を求める必要はなく、
「この数列は単調増加だね。上に有界だよ。だからこの数列は収束するね。極限値が何かはわからないけどとりあえず収束はするから、その極限値をeとして定義しようか」
といった心ではないだろうか。
ボルツァノ・ワイヤシュトラースの定理
これは、有界な無限集合の中に収束する数列が存在するという話であるが、有界であることは前提されているのだから、「単調増加 / 減少な数列を有界な無限集合の中に取ることができる」という点を示れば良いのでは？
定理の主張としては、「有界な集合については、異なる要素から収束する数列を取得することができるよ」ということだと思っている。
コーシーの収束条件について
これは、「収束条件」という名前だが定理である。定理として、数列の収束性について必要十分条件を述べている。すなわち、「以上のことを前提にすれば、数列が収束するための必要十分条件は、以下のものである」という定理である。
また、この定理は「収束すること」のみに関心があり、その極限値については関心がない。この点で、極限値まで関心がある数列に関するコーシーの収束性の定義とは、世界線がやや異なっている。
証明は、自力では完走できなかった。後日またおさらいしよう。
いわゆる計算問題について。
定理の証明とか、論理を理解するのはもちろん大事なんだけど、その結果 or 前提となる計算ができないとお話にならないよね、ということで、やはり最低限計算に習熟するというのは大事だと思う。
あるいは、計算ができないということは、どこかの論理に対する理解が甘いということだとも取れる。逃げないで計算に向き合うことも大事だよな。
次やること
等比数列周りの証明もう一度- eの定義に際してanとbnの話。
- コーシーの収束条件がどのように証明されるのか。
今日は大学の図書館が閉まるの早くてビビりました。夏休みの土日は17:00閉館なのか。はや。
ということで、本日もお疲れ様でございました。最後までお読みいただき、ありがとうございます。
