やかんです。
関数の極限とかその辺の話に入っていきます。
めも
関数について
- 関数について何も知らないふりをする。
- 知っているのは、数の存在、数というものが持つ大小関係、数というものに妥当する演算、そして数を並べた数列の存在とその性質（特に極限）のみ。この状態で、関数というものについて考える、ということを考える。
- 演算が既知のものである以上、演算の一部を変数として扱い、変数の挙動に応じて演算結果を追うということは割と想像しやすい話だ。
- これが想像しやすい話であるから、この「演算結果」をグラフとして見ようという試みもかなりプリミティブなものとして理解できる。
- となると、グラフを書いてみたら、「何やらこの値に『限りなく近づいていそうだ』」ということが見て取れる。収束性を定義しようというモチベが生じる。
関数に関するコーシーの収束性の定義
- 「収束性」については、数列という「離散的な」ものについて定義されていることを知っている。しかしここでは、おそらく、「離散」「連続」といったものを考慮せず、これらを包含するより抽象的な立場から、「関数についての収束性」というものを定義しようとしていると思われる。
- 数列の離散性、関数の連続性について定義する前から、この関数に関する収束性の定義は定義可能。
- この関数に関する収束性の定義は、間違いなく収束性を定義しているが、「xがaに限りなく近づく」という表現も関数の視点からしれっと定義している。離散とか連続とかの議論はしない。
- 定理として、和で表される関数の極限値が極限値の和であることの証明は、定義の理解をする上で非常に重要な気がする。
定義について、理解が若干アプデされたかも。
- 「限りなく近づく」とか、何も知らないふりをする。イメージもできないから、数式などを用いて厳密に定義してあげないと議論ができない状況を想定する。
- まず、イプシロンとデルタの組みをテキトーにとる。つまり、任意に（ε, δ）の組をとる。
- で、この2つを用いて、「xがaに限りなく近づくなら、f(x)がAに限りなく近づく」を定義してあげる。
- この定義は、定義のくせに、定義しようとしている対象が複雑という点に特徴がある気がする。同時に2つのものを定義しようとしているというか、ちょっと論理が複雑な印象だ。
お昼休憩を挟んでちょっとハッとしたけど、
- 定義を理解して、そこから導かれるのが定理で、その証明は「定義をどれだけ理解していますか？」という目安にもなるし、あるいは、練習問題的に利用して定義に対する理解度を上げるのにも役立ってくれる。
- 先人に感謝しかない、、、
- 定理においては、定義を通して数式を利用できる。
関数に関する収束性の定義、だいぶ慣れてきた感がある。
次。
引き続き関数の極限とかその辺の話頑張る。
ということで今回もお疲れ様でした。最後までお読みいただき、ありがとうございます。
